数学
高校生
解決済み
互いに素に関する証明問題です！(1)なのですが、解答解き方が違っているのですが、この書き方でも正解なのでしょうか？
(2) 任意の自然数nに対して, 連続する2つの自然数nとn+1 は互いに素で
day
基本 例題112 互いに素に関する証明問題 (1)
例
OO00
480
(1) nは自然数とする。 n+3は6の倍数であり,2千1は8の倍数である、
n+9は24の倍数であることを証明せよ。
公
ip.476 基本事項項2, 基本111
重要11、
ることを証明せよ。
指針> (1) 次のことを利用して証明する。a, b, kは整数とするとき
a, 6は互いに素で, ak がbの倍数であるならば,kはあの倍数である
(2) nとn+1は互いに素→nとn+1の最大公約数は1
nとn+1の最大公約数をgとすると
この2つの式からnを消去して g=1を導き出す。ポイントは
A, Bが自然数のとき, AB=1 ならば A=B=1
n=ga, n+1=gb (a, bは互いに素)
CHART
a, bは kは6の倍数,1はaの倍数
1 ak=blならば
互いに素 2
aとbの最大公約数は1
解答
(1) n+3=6k. n+1=81{h
(2) 任意の目
ることを証明せよ。
n=ga, n+1=gb (a, bは互いに素
基本111
指針>a+6
そこで
指針>(1) 次のことを利用して証明する。 a, 6, kは整数とするとき
bの倍数である
a+b
なお,
(2) nとn+1は互いに素<→nとn+1の最大公約数は1
nとn+1の最大公約数をgとすると
この2つの式からnを消去してg=1を導き出す。ポイントは
A, Bが自然数のとき, AB=1
R
ならば A=B=1
CHAR
a, bは
CHART
[2 aともの最大公約数は1
a
解答
互いに素
atbと aE
数かを公糸
a+b
解答
(1) n+3=6k, n+1=81(k, 1 は自然数) と表される。
と表されこ
のから,
aがpの
このとき
6もpの
n+9=(n+3)+6=6k+6=6(k+1) 白:
n+9=(n+1)+8=8/+8=8(1+1)
よって
6(k+1)=8(1+1) すなわち 3(k+1)=4(1+1)
I 3と4は互いに素であるから, k+1 は4の倍数である。
したがって, k+1=4m (mは自然数)と表される。
n+9=6(k+1)==6·4m=24m
したがって, n+9は24の倍数である。
このとき,+1は3の他
である。したがって、
1+1=3m と表される。
のこれはa
6がかの
ゆえに
aとbた
したが一
n+9=8-3m=24m
(2) nとn+1の最大公約数をgとすると
としてもよい。
n=ga, n+1=gb (a, bは互いに素である自然数)
と表される。n=gaをn+1=gbに代入すると
ga+1=gb すなわち g(b-a)=1小
9, a, bは自然数で, n<n+1より b-a>0であるから
参考
の問
問題
g=1
n=ga, n+1=gb
証明
よって, nとn+1の最大公約数は 1であるから, n とn+1
は互いに素である。
(積が1となる自然数は18
けである。
注意(2)の内容に関連した内容を, 次ページの[参考で扱っている。
※名
素装
練習 (1) nは自然数とする。n+5は7の倍数であり, n+7は5の倍数であるC。
が、
112
n+12を35で割った余りを求めよ。
法一
(2) nを自然数とするとき, 2n-1と 2n+1は互いに素であることを示せ。
『お 公大
練習
11
[(1)中央大,(2) 広島修道大) (p.18ED)
使り12 2 nt3ニ6k, nt1-rl(kむ自熱考又)
個り12 1 nt3ニ6k
nt1-rl (kt自然考又)
n19: 4(h13)- 31nt)
2
24k-24人
k人は整数より 241kd) は24のイ作数である
19は 24の信数である
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