Question

涼月

数学的帰納法の証明なのですが、答えが省略されていて証明の仕方が分からないため教えていただきたいです。
nをどういう感じに場合分けするのでしょうか…

20
6. 数列 a1,a2,
an,
の各項が1より小さい正の数であるとき
次の不等式が成り立つことを証明せよ。 ただし, n ≧2 とする。
(1−a)(1-aż)……(1-an) >1-(a1+a2+..+ar)
のよう
ナッチ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かきつばた

n=2の時、
左辺=(1-a₁)(1-a₂)=1-(a₁+a₂)+a₁a₁
右辺=1-(a₁+a₂)
左辺-右辺=a₁a₂>0よって成立
n=kのとき、
方程式が成り立つとする
n=k+1のとき、a₁+a₂+・・・+an=xnとする
左辺=(1-a₁)×・・・×(1-ak+1)
>[1-xk]×(1-ak+1)
=1-(xk+ak+1)+(xk)×(ak+1)
=1-(xk+1)+(xk)×(ak+1)>1-(xk+1)=右辺

涼月

なるほど！新しく数列作る方法もあるんですね…ありがとうございます
テスト頑張ります

かきつばた

今回は新しく数列作ったってよりかは書くのがめんどくさかっただけかな