Question

まゆげ

（2）で、まず1行目でa、b、p、qをそれぞれ1、3、X、Yとおくとこから分からないです。（2）全体的に解説が欲しいです。いちよ（1）の答えも載せときました。お願いします😿

△(1) a, b, p, g が実数のとき 不等式
が成り立つことを示せ.
(ap + bq)² ≤ (a² + b²) (p² + q²)
x (2) 実数x, y x2 + y2 =3を満たすとき, x+3yの最大値と最小値を求めよ.
1
x(3) 正の数x,yが
x
2
+ =3を満たすとき, x+yの最小値を求めよ.
y

(1)
(a²+ b²) (p²+q²) − (ap+bq)²
-
=(a²p²+b²p²+a²q²+b²q²)− (a²p²+2abpq+b²q²)
2 2
= b²p²+ a²q²−2abpq
= (aq — bp)²
≥O
-
であるから,
(ap + bq)² ≤ (a² + b²) (p²+q²)
が成り立つ。
等号は, aq = bpのときに成り立つ.

(2)(*)において,a=1,6=3, p = x, q=yとすると,
(x+3y)2≦10(x2+v2)
x2+y2=3のとき,
(x+3y)30
①
-
-√30≦x+3y≦√30
① において等号が成り立つのは,
x2+ y2 = 3,
=3,
y=3x
すなわち,
√3 3/3
√√3
3√3
(x,y)=
√10 10
√10
√10
のときである.
3
よって, x+3y は (x, y) =
ラ
10
3√3
710
のとき
最大となり,
最大値30
x+3yは(x,y)=(-
3
3√3
のとき最
10
710
小となり,
最小値 30
-

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

(1)が付いてるのがすごく優しいです。
(1)→(2)→(3)の流れから(2)では前の(1)を使うんだろうなという発想が得られます。
(2)
(ap+bq)^2≦(a^2+b^2)(p^2+q^2)
の形を上手く使いたくてx^2+y^2=3のときx+3yの最大値と最小値を求めたいということは、
~≦x+3y≦~
という形の不等式が欲しいです。
(1)の不等式は、変形すると、
-‪√‬(a^2+b^2)‪√‬(p^2+q^2)≦(ap+bq)≦‪√‬(a^2+b^2)‪√‬(p^2+q^2)
で、欲しい形をしています。
よって、ap+bq=x+3yとなる時を考えるといいと言えます。これを満たすのはa=1,p=x,b=3,q=yの時があります。なので単純に代入します。
-‪√‬(1^2+3^2)‪√‬(x^2+y^2)≦x+3y≦‪√‬(1^2+3^2)‪√‬(x^+y^2)
いまx^2+y^2=3なのでそれも代入すると、
-‪√‬(10・3)≦x+3y≦‪√‬(10・3)
⇔-‪√‬30≦x+3y≦‪√‬30
等号成立はy=3xのときです。