Question

り

①この場面？を想像するのが難しいのですが、同じ水量が蒸発して一定量入れてると考えて、等差数列かと思ったのですが、なぜ等比数列なのでしょうか。

②ここの範囲の求め方を教えていただきたいです

第4問 (選択問題(配点 16 )
容量は520m であり、 池泉の水量が520mを超えると水があふれ出る。 水は一定の
割合で蒸発するため, 30日ごとに一定量tm² (ただし, tは自然数)の水を池泉に流
し入れ、水を流し入れ終わった段階で池泉の水量を確認する。 ただし, 30日間で前回
Aさんは、庭園に設けられた池である池袋の管理を任されることになった。池泉の
確認した水量の5%が蒸発するものとする。
1回目に確認したときの池泉の水量は500mであった。
n回目に確認したときの池泉の水量をam(n=1,2,3,...)とする。
(1) t=15のとき, a2= アイウである。
(2)(n+1)回目に水量を確認するまでに,池泉から水があふれ出ることはないとき
α と α+] の間には
エオ
an+1=
man+t (n=1,2,3, ······)
カキ
する (2) のとき, 池泉の水量を1回目に確認した後から (n+1) 回目に確
認するまでに流し入れた水量の合計はタ m² である。
タ
の解答群
⑩ (n-1)t
①nt
② (n+1)t
③ 1/12n(n-1) ④ 1/2n(n+1)
(2) 池泉の水量を1回目に確認した後から (n+1) 回目に確認する
までに蒸発した水量の合計をSとすると
チ
S
(a1+a2+....+α
シテ
エオ
クケコサシt
ヌ
カキ
となる。
が成り立つ。
このとき
である。
ト
の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
n-1
①n
n+1
エオ
an= クケコ
サシ
+ セン
カキ
ヌ の解答群
(n-1)
(1)
n
ス
の解答群
On-1
①
n
② (n+1)
n+1
n+2
(数学Ⅱ,数学B 数学C第4問は次ページに続く。)
(第2回9)
よって、(2)のとき池泉の水量を1回目に確認した後から (n+1) 回目に確認するま
でに流し入れた水量の合計と, 池泉の水量を1回目に確認した後から(n+1)回目
に確認するまでに蒸発した水量の合計が等しくなるのは,t= ネノのときである。
(数学Ⅱ 数学 B 数学C第4問は次ページに続く。)
(第2回10)

第4問 数列
(1)
a₁ = 500
2回目に水を入れるまでに500m の 5% が蒸発するから, t=15のとき
α=500-500×70 +15
=490
(2) 回目に水量を確認してから(n+1) 回目に水を入れるまでにam² の
19
anti=20an+t
A+
動かないの
数学化する力 (
(1)で具体的に とαの関係を考
えたことをもとに,一般化して
回目と (n+1) 回目の関係を求める。
次の数は
P信してのたした数
5% が蒸発するから
anti-an-anx 100 +t
5
12 art
a
この式を変形すると
a = 20t
aを求めて
両辺から引く
19
-201-20(201) A
列であり
An
Mai-20t
これより,数列{α-20t)は初項α-20t=500-201 公比場の等比数
まかないの引くい
[A]
形
αを用いて
よって
ax-a=pla.-α)
と変形する。 このとき,
数列 (an-α) は初
の等比数列である。
α,公比が
a.-201-(500-201)(19)"
初
It
19
+20t (◎) ①
a. = (500-201)(1)"
paug (p1.g≠0) の
を満たす
式は,pa+g
500-2001(20
1 0 であるから C
500-20t0
ゆえに 25
を求める部分の別解】
1回目に水量を確認したときは500m² であり,(n+1) 回目に水量を確
認するまでに流し入れた水量の合計がwt (m²) 蒸発した水量の合計が
S (m²) であるから,(n+1) 回目に確認したときの水量 (m²) につ
いて
a-1 500+nt-S
これより
S-500+nt-an+s
2
=500+nt- {(500-201) (10)+201} < D
(500- 201){1-(1)}+nt (0.0)
(4)() = (500-201) (19)*** 20t とする。
1SS24のとき
< Point
E
500-200 であるから,f(n) は単調に減少し, f(1)=500 であるか
ら すべての自然数nについて [F]
C
nz1のとき (2) <1であるか
5.1 2 0 である。
D
+1は、①のをn+1に置き換え
たものである。
E
f(n) において, tは定数である。
(3) 池泉の水量を1回目に確認した後から (n+1) 回目に確認するまでに水
を流し入れた回数は、2回目~ (n+1) 回目の回であるから,流し入れ
た水量の合計はntm² (①) である。
-誤答注意!
F
f(n) < 520
19
また、池泉の水量を1回目に確認した後から (n+1) 回目に確認するまでに蒸
発した水量の合計は as, Q2. .... . (m²) それぞれの5%の和であるから
1回目に確認した後、水を流し入
れるのは2回目の確認の前、3回
目の確認の前 (n+1)回目の
確認の前の回である。 回数を
(+1) 回としないこと。
よって、 何回水を流し入れても水があふれ出すことはない。
<<1より、(2)は単調
19
20
減少であるから
(ii) t = 25のとき
< Point
>0のとき
このとき,f(n)=500であり、 何回水を流し入れても水があふれ出す
ことはない。
19-1
20
単調減少
S= 100 (artaz++α)
き
Point]
<0のとき
19
500-20 0 であるから, f(x) は単調に増加する。
(a+a++a) (0)
ここで
したがって、題意を満たすための条件は (12) 520
これより
である。
(19)
(500-201) (20)
11
19\
+20t 520
1
201
19
20{1-(2)"}
B
1
等比数列の和
20
①より
S=
20(500-201) (19)+201
-20(500-200) (1)+
20(500-201) 20{1-(20)+
nt
= (500-2
0-200){1-(20)+nt (0, 0)
上の2つの水量が等しいとき
nt
= (500-201){1-(20)+nt
初項a, 公比 (r1) の等比数列
の初項から第n項までの和をS.と
すると
1-r
S.-(1-a(-1)
r-l
1より(2)
(500-20t×0.57+20t 520
8.6t 235
t≦ 27.3...
は26以上の自然数であるから, 求めるtの最大値は27m² である。
Point
(2)で求めた の式を f(x) とすると, 題意を満たすのは,(1),(2),
f(3), ......, f (12) の値がすべて520 以下のときである。
そこで,f(n)の増減で場合分けをして、題意を満たすもの値を求める
とよい。
=0.57 であるから
(第2回10)
(第2回11)

(4) Aさんは12回だけ池泉の水量を確認することになった。
その間、Aさんが池泉から水があふれ出さないようにできる
表 1
n
エオ
n
水量の最大値は八ヒmである。ただし、必要に応じ
て右の表1の数値を用いてもよい。
カキ
4
0.81
5
0.77
6
0.74
7
0.70
8
0.66
9
0.63
10
0.60
11
20.57
12
0.54

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

①n回目に確認した水量anに対して、
数列(an)自体は、等比でも等差でもありません

anの式の項の1つに等比(19/20)ⁿ⁻¹が含まれている、
というだけです

②関数の最大最小を求めるにおいては、
関数のグラフの形状に注目するのは自然です
数列でも同様で、今回は指数関数的に変化するので、
その係数が正か負かで大きく増減が異なることから
係数の正負で場合分けしています