Question

Guest

7で割ると2余り、かつ、11で割ると3余る自然数を求める問題なのですが、写真のようにXを表せるのはどうしてですか？？

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

伊達ヤマダ

7x-11y=1 ⑴

（を満たす整数x,yの組み合わせを考えると
(x,y)=(8,5)(-3,-2)などがある。ここで）式⑴に(x,y)=(8,5)を代入すると

7×8-11×5=1 ⑵

式⑴から式⑵を引いて

7(x-8)-11(y-5)=0
7(x-8)=11(y-5) ⑶

ここで7と11は互いに素なので,（式⑶が成り立つならば, 式⑶の両辺の素因数分解の結果も等しくなることより,）式⑶に関して y-5 は整数mを用いて

7(x-8)=11×7m ⑷

と書き表せる。よって式⑷から

x-8=11m
x=11m+8

これを式⑶に代入して

7{(11m+8)-8}=11(y-5)
7×11m=11(y-5)
7m=y-5
y=7m+5

以上から求める解は

x=11m+8
y=7m+5 (mは整数)

不定一次方程式の一般解を求める時の解答の書き方は上記の様になります。
文章中で（）で囲っているところに関しては実際に解答を書くときには書く必要はありませんが、整数問題の考え方としては非常に重要なところ
（特に“等式が成り立つなら、等式の両辺の素因数分解の結果も等しい”の部分）
なので是非とも覚えてほいて下さい。
センター試験などではxやyの係数が3桁以上の整数になることもあるので、ユークリッド互除法を用いた解答の手順などもマスターして下さい。

Guest

返信遅くなりすみません。細かくありがとうございます！！！理解できました🙇🏻‍♂️🙇🏻‍♂️