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自然数(非負整数)に関する証明
⑴数学的帰納法による証明
⑵実数による証明による証明
今回は数学的帰納法が相応しいでしょう。
⑴がとければ⑵はサービスですね。
⑴
任意の自然数nについて
2^n-(1+n+n(n-1)/2) ≧0 …(＊)
が成立することを、数学的帰納法によって示す。
n=1のとき
2-(1+1+0)=0
で成立する。
つぎに、(＊)が任意のn(n=k)で成立すると仮定すると、n+1(n=k+1)でも成立する
n+1のとき、
2(2^n)-(2+n+n(n+1)/2)
≧2(1+n+n(n-1)/2)-(2+n+n(n+1)/2)
=n+n/2(n-1-(n+1))
=n-n
=0
よって(＊)は成立する
以上より、任意の自然数について(＊)は成り立つ。
⑵
n/2^n
≧n/(1+n+n(n-1)/2)
→0(n→∞)
ありがとうございます🙇♂️🙇♂️