本問での自然な解き方はこちらの方だと思います.
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P(x)を4次式で割った余りは高々3次式なのでa,b,c,dを実数, Q(x)を商として
P(x)=(x^2+x+1)(x^2-x+1)Q(x)+(ax^3+bx^2+cx+d)
と表すことができる.
P(x)を(x^2+x+1)で割った余りがx+1なので
P(x)=(x^2+x+1)(x^2-x+1)Q(x)+(ax+(d-1))(x^2+x+1)+(x+1)[最高次と最低次の値で係数を決める.]
と書ける.
余りの2次と1次の項を係数比較してb=a+(d-1), c=a+(d-1)+1
またP(x)を(x^2-x+1)で割った余りがx-1なので
P(x)=(x^2+x+1)(x^2-x+1)Q(x)+(ax+(d+1))(x^2-x+1)+(x-1)
とも書ける.
同様に余りの2次と1次の項を係数比較してb=-a+(d+1), c=a-(d+1)+1
以上より
b=a+(d-1)=-a+(d+1)⇔a=1, c=a+(d-1)+1=a-(d+1)+1⇔d=0
b=1+(0-1)=0, c=1+(0-1)+1=1
となって余りはx^3+xである.
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模範解答は1の3乗根ωの性質を使って解いているんですね.
確かに高次の時は有効ですが, この問題では大げさですし, あまり役に立っていません.
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x^3=1の虚数解の1つをωとすると解は1,ω,ω^2と表せる.
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ω^3=ω*ω^2=1なのでω^2=1/ω
x^3-1=0⇔(x-1)(x^2+x+1)=0なのでω^2+ω+1=0⇔ω^2=-ω-1
のような関係が成り立ちます. 途中の式変形はこういった関係を使っています.
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x^3=-1の虚数解は上のωを用いて-1, -ω, -ω^2と表せる.
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明らかですが, 具体的に解いて比べてもいいでしょう.
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これらの性質を理解すれば解答も読めると思います.
数学
高校生
どなたか数学が得意な方解説お願いします！
P(ω)=aω^3+bω^2+cω+dまでは分かるのですがその後の、
余りがω+1であるから
P(ω)=ω+1
のところからよくわかりません。
/ツ
ついての多項式 (と) を x+1 で割った余りが ィ二1 ーァ二1 で
た僚りが*ー1 のとき, (>) を (<?十x二1D(Y"ーァ1) で割った余り
である。 (早生田大)
1 全
262 pG) を4次式 (2二z十1)(2ーァ1) で割っ
たときの商を 0(⑦, 余りを ん() とすると
ア(ヶ) = (2二x二1(2ーァ十 10(?)二 Zぶ)
(が(?) は 3 次以下の多項式)
(>) は 3 次以下の多項式であるか ら
7(ヶ) = 2%?十の2 十c十の
(ただし 2, ヵ c, は実数)
IlG表すこととができる。
計る と
(?) 議 (40 Hz おり.0の(7) A(②)
95
ニー(でマトx+D(デーテキリDOG) |
の十が"十cx十す
方各式 "キャ+1ニ0 の解の1つをのとすると |
p(@の) = の二6の7十co
ー方,P(x) を デキェ二1 で割った余りが*+1で
あるから|
ア7(@) =ゥ+1
よって geの二0eP二co寺ずニo+1
の =1 であるから
ge十2十coすずニキが(一の一1)十co士の
<一59填(一上の)の
以上より
@ー5よ(一ム+c)o ニーo二1
また, 方程式 **\ーェ1ニニ0 の解の1つは で
表すことができるので
ア(一め) ニーg十6の7一cg二の
一方, (⑭) を ダーテ+1 で割った余りがェー1 で
あるから
ア(一め) = ーgー1
2 ーgの十5の%一co二プニーgー1
ところで, の ニ1 であるから
ーgの十一coのニー ー<+0ーgー1) 一co+み
ニーg-2+g+(一6一のo
以上より
ーg一6+十(一ムーの)の = ーー1
の 2 C, のは実数、のは拉素数であるから
々2キー1。 一5キー1
ーg一2ニー1。 5ーc = ー1
よって Z=ニ1 6=0.c=1 g=0
したがって, 余りは9十* となる。
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返信遅れました。
丁寧な解説ありがとうございます！
繰り返し練習してみます。