✨ ベストアンサー ✨
はなかっぱさんの質問を突き詰めれば, なぜ方べきの定理を使うのか?ということですよね.
図形の問題ですから, 自分で図を書いてみましょう.
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与えられているのは辺の比の条件のみで, ABとACの辺の関係を表すものはありません. 何か角度の情報が欲しいですね.
そこで図形を見ると, "∠Aが共通"であることに気付くと思います.
三角形ABCと三角形ADEを見ると相似っぽいですよね. そこで対応角に何か関係がないか探すわけです.
"円に内接する"四角形の外角の大きさは内対角に等しい[中学で学んだはずですよ]ので
∠ADE=∠ACB, ∠AED=∠ABC
したがって三角形ABCと三角形AEDは相似の関係にあります.
辺の比を見ると
AB:AC=AE:AD⇔AB・AD=AC・AE[これが方べきの定理]
が得られ, 求めたい比が得られます.
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方べきの定理という名前は分かっていても, なぜ使うのかが頭の中で繋がっていないのが問題だったのだと思います.
辺の情報, 角の情報をどれだけ知っているか, 円の性質から何を引き出せるか, 定理はいかに導かれたのか,を有機的に繋げる訓練が必要です.
この辺りは中学の幾何の参考書かセンター対策の本を引っぱり出して読み返した方がいいでしょう.
私にはなぜAD=2, AE=3にしたのか理解出来ません. そこの部分の説明を付け加えてくれますか?
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DはABの内分点, CはAEの内分点なので, ADはABの長さを基準に, AEはACの長さを基準に"相対的な"長さが決まります.
だからAD=AB*2/(2+1), AE=AC*3/(3+5)としたわけですね[絶対的な長さは決まらないことに注意しましょう. そこを勘違いしているのかな?].
これでABとACの式になって, 結果として比が求められたわけです.
なんとなく比を求めているから比でも計算できるのではないかと思ってしまっていました。相対的な長さは方べきの定理は使えないということですか？
何度もすみません🙇♂️
考えの流れを整理してみましょう.
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[前提]方べきの定理でAD, AB, AC, AEの式が得られました.
最終的にはABとACの関係を求めたい. 具体的な長さ[AB=2, AC=5, AD=4, AE=6]は与えられていません[だから何も代入できないわけです].
困ったわけですが, DはABの内分点, EはACの内分点なのでADはAB, AEはACを使って表すことが出来ます[これで比が使えます].
あとは代入して整理すればレシピ完成
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根拠なく[なんとなく]議論を進めると大体は論理的に破綻をきたすので, 少し立ち止まるようにした方がいいです.
自分勝手に条件を設定する行為は採点者[入学試験だと数学者]を非常に不快にし, 間違いなく他の採点も厳しくなります.
その場合,以降は何も書かない方がいいです.
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はなかっぱさんの解答ですが, もう少し丁寧に講評すると...
AD=2, AE=3ですが, それは比であって, 具体的な長さ2[cm], 3[cm]というわけではありません.
もし辺ABと辺ACの間に何らかの関係があって決まる, たとえばAB:AC=3:8で, AD=(2/3)AB, AE=(3/8)ACなのでAD:AE=2:3,といった場合は問題ありませんが, この問題では辺ABと辺ACの間には何の関係もないので比を決めることが出来ません.
条件として与えられているのは"辺ABを2:1に内分する点D, 辺ACを3:5に内分する点E"だけなので, それだけで処理しなくてはいけません.
それゆえにこのような解答に必然的になるということですね.
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国公立大学を目指していらっしゃるので少し厳しいことも書きましたが, 論理的かつ明快に答案を書くことの重要性を強調しておきます.
これは受験だけではなく大学[や社会]に入ってからも役に立つことなので, 今しっかり練習しておいて損はしないです.
とってもわかりやすかったです！モヤモヤしていたところがスッキリしました😊本当にありがとうございます🙇
回答ありがとうございます！
解答は画像の56なんですが、辺の長さの’比 ‘を求めるから、ADとAEをAB、ACに置き換えなくても最初の画像のように計算しても良いのではないかと考えてしまいました。
これはなぜ置き換えなければならないのですか？