✨ ベストアンサー ✨
(x^2+2x+2-a^2)*e^(-x)=x^2(1+2/x+(2-a^2)/x^2)e^(-x)
x->-∞のとき, 1/xと1/x^2は0に収束, x^2とe^(-x)は+∞に発散するので, 全体としては+∞同士の積なので+∞に発散します.
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x->+∞のとき, 1/xと1/x^2は0に収束, 問題はx^2*e^(-x)ですね.
x≧0のとき, 任意の自然数nに関してe^x≧x^(n+1)/(n+1)!が成り立ちます[数学的帰納法で示してみよう].
逆数をとると0<e^(-x)≦(n+1)!/x^(n+1)
これにx^nを掛けると0≦x^ne^(-x)≦(n+1)!x^{n-(n+1)}=(n+1)!/x
lim[x->+∞](n+1)!/x=0なので, はさみうちの原理からlim[n->+∞]x^ne^(-x)=0
n=2を選ぶとlim[n->+∞]x^2e^(-x)=0
以上より全体として0に収束します.
評価する不等式は
e^x≧{x^(n+1)}/(n+1)!という意味で書きました.
0<1/{e^x}≦1/[{x^(n+1)}/(n+1)!]
⇔0<e^(-x)≦(n+1)!/{x^(n+1)}
で, これなら納得できますよね.
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残りの部分は理解できていると思います.
なるほど...！理解出来ました！！ありがとうございます🙇♀️
こんな感じでしょうか？
質問なのですが、x^(n+1)/(n+1)!が逆数をとると(n+1)!/x^(n+1)にどうしたらなるのですか？