✨ ベストアンサー ✨
前半
一般項を出したあと、
数学的帰納法で証明はするんですよね？
でしたらよいと思います。
模試でも推測部分には点を設けないことが多いのでは？
「a1=1, a2=2, a3=3より、an=nと推測される」
なんて書いてあったところで根拠になるでしょうか？
根拠なんて不要だから「推測」なんていう、
ぼやけた言葉を使っているのでしょう。
「an=nと推測される」でいいですよ。
a_(n+1) = 2an -3 を
a_(n+1)-3 = 2(an-3)と変形するのに
特性方程式云々なんて
グダグダ書く必要ないのと似ています。
たぶん。
でも、この手の問題のほとんどは、
はじめ何項かを求めて推測した方が相当簡単ですよ。
推測するために何項か求めるにおいては、
あ さんが書かれていた（かな？）ように、
きちんと導出するというのは重要ですよね。
（熟読していませんでしたが、
消さなくても全然よかったと思います）
上はあくまで、一般項を何らかの方法で求めて…
というゲリラ的な方法だったら、
という話における私の勝手な物言いです。
答案は採点者に伝える場ですから、
問題に正対して、素直にa2=●、a3=▲、…
はしっかり途中式も含めて説明しましょう、
というのはとても教育的な考えだと思います。
なるほど…🤔
でもよくよく考えたら推測に根拠もなにもないのでやっぱり必然性はないかと思ったので消させて頂きました🙆🏻
確かに、一般的には推測から導く問題はその方針に従う方が容易に解けると思います。
しかしこの過去問は、なぜこれが？と思えるような(具体的には(数値)ⁿ⁺¹で割って特性方程式を用いれば等比数列の形になる)ものでした。
数学は物理などと違って、結果よりも過程が重視される学問と考えているので、(個別)→(全体)を導く力をはかっているのだろうかという疑問を持ったため質問させていただきました。
しかし、もしそういう能力が見たいのであれば、より複雑で一見して解けない数列を用いるのだろうとも思いますし、仰るようにその数列がどこから湧き出たのか分からなくても、最終的には成り立つことが証明されるので問題ないのかも知れませんね。
たとえばε-δ論法による証明では、先に導いてから証明するような解き方をするので、今回の解き方はそれに近いのかなと思いました。
回答ありがとうございました。
この漸化式解けるのに数学的帰納法で？
という問題もありますが、特殊な意図はないでしょう。
単に、推測して証明、ができるかを見たいだけです。
そのためには解けようが解けまいがどうでもよく、
だから解法の強制すらする。
でも多くは、変に深読みさせてしまわないように
解けない漸化式にする。
漸化式の解法●パターンを押さえろ！
みたいなものは、数十年の中で段々整備されて
今の形になってきたかと思います。
b^(n+1)で割るとかの手法は
必ずしも当たり前のことではなく、
たまたま私たちが解法としてストックしていただけ
という認識です。
（今となっては基本的処理・常識にしなくては
ならないのでしょうけど）
数学は（ある種）不変でも、
その解法は結構移り変わっています。
ちなみに数学においては
結論と仮定は等価値と思っております。車の両輪。
特に入試では。
勉強になりましたありがとうございます🙇♂️