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X9 2つのxの2次不等式 x²-2x-8≧0 x2-2ax-a+6≦0 がある。 ただし, aは定数とする。 (1) 不等式①を解け。 ① (2)不等式②を満たす実数 x がただ1つとなるようなαの値を 求めよ。 また,そのときのxの値を求めよ。 (3) 不等式①,②を同時に満たす実数x がただ1つとなるよ うなαの値を求めよ。 (配点 40 )
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令和7年度 総合学力記述模試 ・7月 ~2次不等式 ~ 高3@自学 (1) x²-2x-8≧0 ① 不等式①を解く。 (x+2)(x-4)≧0 ∴x≦-2,4≦x (2)x2-2ax-a+6≦0……② 不等式②を満たす実数x がただ1つとなるαの値とそのときの xの値を求める。 題意を満たすのは②が重解をもつとき。 上に凸の放物線 すなわち, x2-2ax-a+6=0の判別式をDとするとD=0 となるとき。 D=4a² -4(−a+6)=4(a+3) (a-2) = 0 ∴.a=-3, 2 , a = -3 のとき (x+3)2 = 0 より x = -3 a = 2 のとき (x-2)^=0 より x = 2
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(3)不等式①,②を同時に満たす実数xがただ1つとなるαの値 を求める。 不等式①の解x≦-2,4≦x -2 不等式②の左辺 = 0, すなわち x2-2ax-a+ 6 = 0……※ が ア重解をもつ イ異なる2つの実数解をもつ x 場合についてそれぞれ考えてみます。 ア 重解をもつ場合 (2)より α = -3 のとき x = -3 (①を満たす) a = 2 のときx=2 (①を満たさないから不適) 異なる2つの実数解α, β (a < β)をもつ場合 ○α = -2 のとき, ※はx=-2を解にもつので (-2)^-2a(-2)-a+6=0 10 ∴.a= 3 このとき②は 20 28 x2+=x+ 3 ≤0 3 ∴ (x + 2)(3x +14) ≦ 0 14 - 3 14 -2 4 x 3 ≦x≦-2 (不適) ○ β=4のとき,※はx=4を解にもつので 42−2a4-a +6=0 ∴a= このとき②は 2 x- - 44 32 x+ ≤0 9 ∴ (x-4)(9x-8)≦0 22 9 -2 8 9 < Bぢゃな いから ≦x≦4 (a <βだからおk) X ただ1つ 22 アイより a=-3, の共通解
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