Question

ゲスト島田

写真3枚目、右の下から4-7行目がわかりません。

右の下から7-8行目は
　4/kの二乗　を両辺に掛けることが出来るのは
kの二乗、4が整の正数であるからと考えた時、
右の下から5-6行目で
両辺に(3k-2)の二乗を掛ける事は納得出来るのですが、
なぜ⑦の式を解く時に、
不等号を変化しないようにするのでしょうか。

2
実数x,yが
0<x<y かつ x2+y2=x3+y3
を満たすとき,
求めよ。
x+yのとり得る値の範囲を

【解答1】
x+y=kとおくと, x+yのとり得る値の
範囲は,
[0<x<y,
x2+y2=x3+y3,
x+y=k
3③3③
を同時に満たす実数x, y が存在するようなん
の値の範囲である.
x+y=kのとき,②の左辺と右辺は
x2+y2 = (x+y)2-2xy
=k2-2xy,
x³+y³ = (x+y)³ — 3xy(x+y)
=k-3kxy
すなわち,
と表せるから,②は,
k2-2xy=k-3kxy,
(3k-2)xy=k³ – k²
と変形できる.
8 4
=
k= /1/2のとき。 ④は0-27-1 となって成
9
り立たないのでん≠ としてよく、④は
k³ k²
3k-2
xy=
と変形できる.
③,⑤より, x,yはtの2次方程式
k³ k²
3k-2
t2-kt+
=0
f(t) = t² — kt+
5
の2解であるから, ①~③を同時に満たす実数
x, y が存在するのは, tの2次方程式 ⑥ が
t>0の範囲に異なる2つの実数解をもつとき
であり,
k³ k²
3k-2
(6)
とおくと, その条件は, tu 平面上の2次関数
u=f(t) のグラフと直線u=0 (t軸)がt > 0
の範囲で異なる2点で交わることである.
u= f(t)
1
0
s(t)= (1 - 12/2)² + 4 (3/²-2)
t-
k)
より,このグラフは点 点 ( 11 (3k-2) を頂
k k³-2k²
€
2'
点とする下に凸の放物線であることから, kが
満たすべき条件は,
ķ>0,
2
k³-2k²
4(3k-2)
[ƒ(0)>0
が同時に成り立つことである.
⑦ より >0であり, このもとで⑧を変形
すると,
k2(k-2)
4(3k - 2)
<0,
R1-22 <0.
3k-2
(k − 2)(3k-2) <0.
3
同様に ⑨ より,
<0.
-<k <2.
よって, ⑦,⑧,⑨'
k²(k − 1) >0.
3k-2
k-12 > 0.
(k − 1)(3k—2) >0.
k<², 1<k.
より,
1 <k <2

となる.
以上より, x+yのとり得る値の範囲は,
1 < x+y<2.
【解答2】
x+y=kとおくと, x+yのとり得る値の
範囲は ,
[0<x<y,
| x² + y² = x³ + y³,
|x+y=k
を同時に満たす実数x, y が存在するようなん
の値の範囲である.
③ をy=-x+kと変形して②の左辺と右
辺に代入すると,
x2+y2=x2+(-x+k)2
=2x2-2kx+k2,
x+y=x²+(-x+k)3
と表せるから、②は,
すなわち,
=3kx²-3kx+k3
2x2-2kx+k2=3kx2-3kx+k3,
すなわち,
(3k-2)x2-(3k-2)kx+k-k²=0... ④
と変形できる.
また, y=-x+kを①に代入すると,
0<x<-x+k,
…(答)
0<x< 1/1/20
となり,このとき,
と変形できる.
k > 0.
x2-kx+
8 4
k=1/3のとき,④は 2017-1=0
-=0となって成
り立たないので k=12/23 としてよく,⑨は
k³ - k²
3k-2
(2)
=0
k³ k²
f(x)=x-kx+
3k-2
とおくと, ①~③を同時に満たす実数x,yが
存在する条件は,xの2次方程式 ⑥⑤ の範
囲に少なくとも1つの実数解をもつことであり、
これは xz 平面上の2次関数z = f(x)のグラ
フと直線z=0(x軸)が⑤の範囲に少なくと
も1つの共有点をもつことである.
z = f(x)
✓
k
2
x
k
k-2k2
f(x) = ( x − 4 2 ) ² + 4 (3k ²²2)
-
4(3k-2)
k³ - 2k²
4(3k-2)/
点とする下に凸の放物線であることから, kが
満たすべき条件は,
k³ - 2k²
4(3k-2)
f(0)>0
が同時に成り立つことである.
⑤' より > 0 であり,このもとで⑦を変形
すると,
より,このグラフは点
を頂
1** (2/2, + H
k2(k-2)
4 (3k-2)
3-2 <0.0
4/23
同様に⑧より,
(k-2)(3k-2) <0.
<0,
<0.
k2(k-1)
3k-2
<k <2.
k-1
3k-2
->0.
->0.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

＞なぜ⑦の式を解く時に、不等号を変化しないようにするのでしょうか。

●ご質問の意図から外れるかもしれませんが･･･

解説の意図は、面倒を避ける為と思えます

不等式を解く作業で、分母を払うとき

　両辺にかける値の正負がはっきりしないものを用いると

　場合分け等をして不等号の向きを考えるなど面倒になります

その為、正の値にしたものをかけて、解くことが多いです

　結果として、不等号の向きが変わらないという事も出てきます。