Question

れいか

なぜ係数比較することで解けるのでしょうか…？
②の式の意味が分からないです、教えてください🙇‍♀️

(3) <0 とし,f(x)=ax²+2x+2, g(x) = -1/2x+4 とする。
3
f(x) ≧ g(x) を満たすxの範囲が1≦x≦bであるとき,定数a,b の値
を求めよ。

(3) f(x) ≧ g(x) から ax²+2x+2≥ − ²x+4
2
すなわち
ax2+1/3x-2≧0.....①
一方、解が1≦x≦bであるxの2次不等式で、xの
係数がα (< 0) であるものは
a(x-1)(x-b)≧0
ax²
すなわち
①,②の係数を比較すると
8
- (ab+a)=3¹
8
ax²-(ab+α)x+αb≧0...... ②
このとき, ①は
すなわち
したがって
A=I
ab=-2
これを解くと
2
a=-²/², b=3
3'
別解 (①を導くところまで同じ)
F(x)=x2+2 とおく。
x=1は2次方程式F(x)=0の解の1つである。
8
2
a+2²-2=0
すなわち
P=II
- 13 (これはa<0 を満たす)
3
2
(x-3)(x-1)≦0
2
3
これはα<0 を満たす。
8
1²+-220
3
b=3
y y=a(x-1)x-b)
0/1
ゆえに
①を満たすxの範囲が1≦x≦bであるとき、
よって, F(1) =0から
b
整理して2-4x+3≦0
1≤x≤3
x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Rousseau

係数比較をすると言われると難しいかもしれません。

考え方は単純です。

そして、f(x)≧g(x)⇔f(x)-g(x)≧0から

f(x)-g(x)=ax^2+8/3x-2≧0 これが①の式です。

これはf(x)≧g(x)という関係を表します。

ax^2+8/3x-2≧0とf(x)≧g(x)は全く同じものとして捉えてください。

これに加えて、そのようになる範囲は1≦x≦bとなるというので、

h(x)=f(x)-g(x)としますと、加える情報は

“h(x)≧0となるのは1≦x≦bのとき”

ということです。

一旦整理すると、

ax^2+8/3x-2≧0は1≦x≦bの時満たされるわけです。

これを満たす関数h(x)を考えます。

h(x)= ax^2+8/3x-2であり、a<0なので上に凸です。

普段は二次関数の式から範囲を求めていましたが、
今回は逆算して考えます。

つまり1≦x≦bでy座標は0以上だから、

y=0となるときのx座標は、x=1,bですよね。

あなたの写真のグラフにある通りです。

また、x軸と二つの交点を持つ二次関数は、私の写真の式のように表されますので、

h(x)=a(x-1)(x-b)

となります。これが②です。

おそらく、y=a(x-α)(x-β)という公式を知っていらっしゃらないと思うので、復習頑張ってください。

あとは、二つの式で表されたh(x)はイコールなので、

係数比較をするわけです。

解法を要約すると、

”２パターンで表された二次関数の式の係数を比べる”

というものです。

れいか

ご丁寧にありがとうございます！！
とても分かりやすくて助かりました…！！😭🙏
復習頑張ります…！💪

Rousseau

数学は公式の引き出し(裏技とか、マイナーな公式)
を増やしていけば、センスが皆無(僕)でも戦えます！