正四面体の各面を構成する三角形は、一辺の長さが２√2の正三角形です。
正四面体の内接球の中心から各面の正三角形に向かって下ろした垂線の足は、正三角形の重心と一致し、その垂線の長さが内接球の半径と一致します。
よって、正三角形の面積を求め、それを底面として、かつ内接球の半径を高さにもつ三角錐を考えれば、正四面体はその三角錐４個から構成されることが分かりますから、半径ｒを用いて各三角錐の体積を求め、それを４倍したものが前問の正四面体の体積と等しい、という等式を立てれば、あとはそれを解くだけで求められます。
回答
立方体から三角錐ＡＢＤ-Ｅの体積４個分を除いた残りが正四面体の体積です。
立方体から切り落とされる三角錐は４個ありますが、どれも同じ三角錐なので、三角錐１個分の体積を求め、それらを４倍して立方体から引けば良いという訳です。
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