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自然数nに対して,関数fn(x)＝x^(n)e^(1-x)と,その定積分
an＝∮0→1fn(x)dxを考える。ただし,eは自然対数の底である。
(1)区間0≦x≦1上で0≦fn(x)≦1であることを示し,さらに0<an<1が成り立つことを示せ。
(2)a1を求めよ。また,n>1に対してanとa(n -1)の間の漸化式を求めよ。
(3)自然数nに対して,
等式 an/n!＝e -(1＋(1/1!)＋(1/2!)＋...＋(1/n!)が成り立つことを証明せよ。
(4)いかなる自然数nに対しても,n!eは整数とはならないことを示せ。
(大阪大)